A gúla térfogata
Minden gúlára (és kúpra) ugyanaz a szabály érvényes: a térfogat az alaplap területének és a testmagasságnak a szorzata, osztva hárommal.
V = T · m / 3
Az alaplap lehet háromszög, négyzet, téglalap vagy szabályos sokszög; a területét a megfelelő síkidom-kalkulátorral (például háromszög, szabályos sokszög) számolhatod ki, majd itt a „Bármilyen alap” módban add meg.
Négyzet alapú szabályos gúla
A négyzet alapú gúla csúcsa az alaplap középpontja fölött van. Az alapél (a) és a testmagasság (m) ismeretében minden adat kijön:
- Térfogat: V = a² · m / 3
- Oldallap magassága: mₒ = √(m² + (a/2)²)
- Oldalél: b = √(m² + a²/2)
- Palást (4 háromszög): P = 2 · a · mₒ
- Felszín: A = a² + 2 · a · mₒ
Példa: a = 6 cm, m = 4 cm. Az oldallap magassága √(16 + 9) = 5 cm, az oldalél √(16 + 18) = 5,83 cm. A térfogat 36 · 4 / 3 = 48 cm³, a palást 2 · 6 · 5 = 60 cm², a felszín 36 + 60 = 96 cm².
Gyakori hiba, hogy a testmagasságot és az oldallap magasságát összekeverik. A testmagasság a csúcsból az alaplapra bocsátott merőleges, az oldallap magassága pedig az oldalháromszög magassága, ami mindig hosszabb.
Példa: a gízai nagy piramis
A Kheopsz-piramis eredeti méreteit általában kb. 230 m-es alapéllel és kb. 146 m-es magassággal adják meg (közelítő értékek). Ebből a térfogat 230² · 146 / 3 ≈ 2,57 millió m³.
Példa a gyakorlatból: gúla alakú tető
Egy 6 m × 6 m alapú kerti pavilon gúla alakú tetejének csúcsa 2 m-rel van az eresz fölött. A tetőtér légtérfogata 36 · 2 / 3 = 24 m³. A héjazathoz az oldallapok területe kell: az oldalmagasság √(2² + 3²) = 3,61 m, így a négy háromszög területe 4 · 6 · 3,61 / 2 = 43,27 m². Az alaplap itt nem számít bele, mert nincs lefedve.
Gúla és hasáb
| Alapterület | Magasság | Hasáb térfogata | Gúla térfogata |
|---|---|---|---|
| 20 cm² | 9 cm | 180 cm³ | 60,00 cm³ |
| 36 cm² | 4 cm | 144 cm³ | 48,00 cm³ |
| 50 cm² | 12 cm | 600 cm³ | 200,00 cm³ |
| 100 cm² | 10 cm | 1 000 cm³ | 333,33 cm³ |
Azonos alaplapú és magasságú hasáb térfogata mindig háromszorosa a gúláénak. Ugyanez az összefüggés a kúp és a henger között. Téglalap alapú hasábhoz a téglatest kalkulátor használható.
Gyakori kérdések
Mi a gúla térfogatának képlete?
V = T · m / 3, ahol T az alaplap területe, m a testmagasság. Ez minden gúlára igaz.
Hogyan számolom a négyzet alapú gúla felszínét?
A = a² + 2 · a · mₒ, ahol mₒ = √(m² + (a/2)²) az oldallap magassága.
Mi a különbség a testmagasság és az oldalmagasság között?
A testmagasság a csúcs és az alaplap távolsága, az oldalmagasság az oldalháromszög magassága. A kettő a fél alapéllel derékszögű háromszöget alkot.
Miért osztunk hárommal?
Egy kocka három egybevágó gúlára bontható, amelyek csúcsa a kocka egyik csúcsa. Általánosan is igaz, hogy a gúla az azonos alapú és magasságú hasáb harmada.
Jogi nyilatkozat: Az oldal és a kalkulátor eredménye tájékoztató jellegű, nem minősül jogi, adó- vagy pénzügyi tanácsadásnak.
Ellenőrizve: