A háromszög területe: három képlet, három helyzet
A háromszög területét attól függően számoljuk, milyen adatok állnak rendelkezésre. A kalkulátor mindhárom gyakori esetet kezeli:
- Alap és magasság: T = a · ma / 2. A magasság az alapra merőleges távolság a szemközti csúcsig.
- Két oldal és a közbezárt szög: T = a · b · sin γ / 2. A harmadik oldalt a koszinusztétel adja: c² = a² + b² − 2ab · cos γ.
- Három oldal (Héron-képlet): először a félkerület s = (a + b + c) / 2, majd T = √(s · (s − a) · (s − b) · (s − c)).
Példa (Héron-képlet): a = 5, b = 6, c = 7 cm. A kerület 18 cm, a félkerület s = 9. T = √(9 · 4 · 3 · 2) = √216 = 14,6969 cm². Az a oldalhoz tartozó magasság 2T / a = 5,8788 cm, a szögek 44,42°, 57,12° és 78,46°.
Létezik-e egyáltalán a háromszög?
Három szakaszból csak akkor lehet háromszöget szerkeszteni, ha bármely két oldal összege nagyobb a harmadiknál (háromszög-egyenlőtlenség). Az 1, 2 és 5 cm-es szakasz nem ad háromszöget, mert 1 + 2 < 5. Ha a két rövidebb oldal összege éppen egyenlő a leghosszabbal, a „háromszög” egy egyenes szakasszá lapul, területe nulla. A kalkulátor ilyenkor jelez.
A szögek kiszámítása a koszinusztétellel
Ha mindhárom oldal ismert, a szögeket a koszinusztétel átrendezésével kapjuk: cos α = (b² + c² − a²) / (2bc). A három szög összege mindig 180°. A legnagyobb szög mindig a leghosszabb oldallal szemben van. Ha a leghosszabb oldal négyzete egyenlő a másik kettő négyzetösszegével, a háromszög derékszögű (ezt a Pitagorasz-tétel kalkulátor is ellenőrzi), ha nagyobb, tompaszögű, ha kisebb, hegyesszögű.
Magasságok, köré és beírt kör
Mindhárom oldalhoz tartozik egy magasság, ezeket a területből számoljuk vissza: ma = 2T / a. A köré írt kör sugara R = abc / (4T), a beírt kör sugara r = T / s. Az 5, 6, 7 cm-es háromszögnél R = 3,5722 cm és r = 1,633 cm.
Gyakori kérdés: alap és magasság
Telek, tetőfelület vagy oromfal területénél sokszor az alap és a magasság mérhető a legkönnyebben. Egy 8 m széles, 5 m magas oromfal területe 8 · 5 / 2 = 20 m². Derékszögű háromszögnél a két befogó egymás magassága, így a terület egyszerűen a befogók szorzatának fele, erre a derékszögű háromszög kalkulátor kényelmesebb.
| Oldalak | Kerület | Terület (Héron) | Típus |
|---|---|---|---|
| 3, 4, 5 | 12 | 6 | derékszögű |
| 5, 6, 7 | 18 | 14,6969 | hegyesszögű |
| 5, 5, 8 | 18 | 12 | tompaszögű, egyenlő szárú |
| 6, 6, 6 | 18 | 15,5885 | szabályos |
Gyakori kérdések
Hogyan számolom ki a háromszög területét három oldalból?
A Héron-képlettel: s = (a + b + c) / 2, majd T = √(s(s − a)(s − b)(s − c)). Az 5, 6, 7 oldalú háromszög területe √216 = 14,70.
Mi a háromszög területének alapképlete?
Alap szorozva a hozzá tartozó magassággal, osztva kettővel: T = a · m / 2.
Mennyi a háromszög szögeinek összege?
Minden síkbeli háromszögben 180°.
Mikor nem létezik a háromszög?
Ha valamelyik két oldal összege nem nagyobb a harmadiknál. Például 2, 3 és 6 cm-ből nem lehet háromszöget szerkeszteni.
Jogi nyilatkozat: Az oldal és a kalkulátor eredménye tájékoztató jellegű, nem minősül jogi, adó- vagy pénzügyi tanácsadásnak.
Ellenőrizve: