Szabályos sokszög képletei
Egy sokszög akkor szabályos, ha minden oldala és minden szöge egyenlő. Ilyen a szabályos háromszög, a négyzet, a szabályos hatszög (a méhsejt alakja) vagy a nyolcszög (a STOP tábla). Az n oldalszámú, a oldalhosszú szabályos sokszög felbontható n darab egyenlő szárú háromszögre, amelyek csúcsa a középpontban van. Innen jönnek a képletek:
- Kerület: K = n · a
- Belső szög: (n − 2) · 180° / n; a belső szögek összege (n − 2) · 180°
- Köré írt kör sugara: R = a / (2 · sin(180° / n))
- Beírt kör sugara (apotéma): r = a / (2 · tg(180° / n))
- Terület: T = K · r / 2 = n · a² / (4 · tg(180° / n))
- Átlók száma: n · (n − 3) / 2
Példa: szabályos hatszög, a = 10 cm. A kerület 6 · 10 = 60 cm, a belső szög 4 · 180° / 6 = 120°. A hatszögnél a köré írt kör sugara pontosan az oldallal egyenlő, R = 10 cm, a beírt kör sugara 10 / (2 · tg 30°) = 8,6603 cm. A terület 6 · 100 / (4 · tg 30°) = 259,8076 cm².
Szorzók 1 egység oldalhosszra
A táblázat egy 1 egység oldalú sokszög adatait mutatja. Más oldalhossznál a sugarakat a-val, a területet a²-tel kell szorozni. Például egy 5 cm oldalú nyolcszög területe 4,8284 · 25 = 120,71 cm².
| n | Név | Belső szög | Terület (a = 1) | R (a = 1) | r (a = 1) | Átlók |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 3 | szabályos háromszög | 60° | 0,4330 | 0,5774 | 0,2887 | 0 |
| 4 | négyzet | 90° | 1,0000 | 0,7071 | 0,5000 | 2 |
| 5 | ötszög | 108° | 1,7205 | 0,8507 | 0,6882 | 5 |
| 6 | hatszög | 120° | 2,5981 | 1,0000 | 0,8660 | 9 |
| 7 | hétszög | 128,57° | 3,6339 | 1,1524 | 1,0383 | 14 |
| 8 | nyolcszög | 135° | 4,8284 | 1,3066 | 1,2071 | 20 |
| 9 | kilencszög | 140° | 6,1818 | 1,4619 | 1,3737 | 27 |
| 10 | tízszög | 144° | 7,6942 | 1,6180 | 1,5388 | 35 |
| 11 | tizenegyszög | 147,27° | 9,3656 | 1,7747 | 1,7028 | 44 |
| 12 | tizenkétszög | 150° | 11,1962 | 1,9319 | 1,8660 | 54 |
Gyakorlati példák
- Hatszögletű pavilon, terasz: ha a pavilon „átmérője” (két szemközti csúcs távolsága) 4 m, az oldal R = 2 m, az alapterület 6 · 4 / (4 · tg 30°) = 10,39 m².
- Nyolcszög szerkesztése fából: a darabokat 180° / n = 22,5°-os szögben kell vágni, hogy a sarkok összeérjenek. Általánosan: a gérvágás szöge 180° / n.
- Csavarfej, csavarkulcs: a hatlapú csavarfej laptávolsága (kulcsnyílás) 2r, csúcstávolsága 2R. Egy 13-as kulcsnyílású fej csúcstávolsága 13 / cos 30° = 15,01 mm.
Ahogy n nő, a szabályos sokszög egyre jobban közelít a körhöz: 100 oldalnál a terület már csak 0,03%-kal kisebb a köré írt kör területénél. Arkhimédész is így becsülte meg a π értékét, 96 oldalú sokszögekkel. A négyzet és a szabályos háromszög adataihoz lásd még a négyzet és a háromszög kalkulátort.
Gyakori kérdések
Hogyan számolom ki a szabályos hatszög területét?
T = 3√3 / 2 · a² ≈ 2,5981 · a². Egy 10 cm oldalú hatszög területe 259,81 cm².
Mekkora a szabályos sokszög belső szöge?
(n − 2) · 180° / n. Ötszögnél 108°, hatszögnél 120°, nyolcszögnél 135°.
Hány átlója van egy n oldalú sokszögnek?
n · (n − 3) / 2. A hatszögnek 9, a nyolcszögnek 20 átlója van.
Mi az apotéma?
A középpont és egy oldal felezőpontjának távolsága, vagyis a beírt kör sugara. A terület a kerület és az apotéma szorzatának fele.
Jogi nyilatkozat: Az oldal és a kalkulátor eredménye tájékoztató jellegű, nem minősül jogi, adó- vagy pénzügyi tanácsadásnak.
Ellenőrizve: