A Pitagorasz-tétel
Minden derékszögű háromszögben a két befogó négyzetének összege egyenlő az átfogó négyzetével: a² + b² = c². Geometriailag ez azt jelenti, hogy a befogókra rajzolt két négyzet területe együtt pontosan annyi, mint az átfogóra rajzolt négyzeté.
- Átfogó: c = √(a² + b²)
- Befogó: a = √(c² − b²)
Példa: a befogók 6 és 8 cm. c = √(36 + 64) = √100 = 10 cm. Fordítva: ha az átfogó 13 és az egyik befogó 5, a másik befogó √(169 − 25) = √144 = 12.
A tétel megfordítása: derékszögű-e?
A tétel visszafelé is igaz: ha három oldalra teljesül, hogy a két rövidebb négyzetösszege egyenlő a leghosszabb négyzetével, akkor a háromszög derékszögű. Ha a² + b² nagyobb, mint c², a háromszög hegyesszögű, ha kisebb, tompaszögű. Az ellenőrzés módban ezt számolja a kalkulátor (az oldalak sorrendje mindegy, a leghosszabbat veszi átfogónak).
Pitagoraszi számhármasok
Vannak olyan egész számhármasok, amelyekre a tétel pontosan teljesül. Ezek többszörösei is jók (6, 8, 10 a 3, 4, 5 kétszerese).
| a | b | c | Ellenőrzés |
|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 9 + 16 = 25 |
| 5 | 12 | 13 | 25 + 144 = 169 |
| 8 | 15 | 17 | 64 + 225 = 289 |
| 7 | 24 | 25 | 49 + 576 = 625 |
| 20 | 21 | 29 | 400 + 441 = 841 |
| 9 | 40 | 41 | 81 + 1600 = 1681 |
Gyakorlati alkalmazás
- Derékszög kitűzése (3-4-5 szabály): alapozásnál, kerítésnél a sarkon mérj ki az egyik irányban 3 m-t, a másikban 4 m-t. Ha a két pont távolsága pontosan 5 m, a sarok derékszögű.
- Képernyőátló: egy 16:9-es képernyő átlója √(16² + 9²) = 18,36 egység, ebből a szélesség és a magasság kiszámolható.
- Létra: egy 5 m-es létra, amelynek alja 1,5 m-re áll a faltól, √(25 − 2,25) = 4,77 m magasan ér a falhoz.
- Téglalap és négyzet átlója: a téglalap kalkulátor is ezzel számol, a négyzet átlója a · √2.
Térben is működik: egy téglatest testátlója √(a² + b² + c²), a vektor hossza √(x² + y²), lásd a vektor kalkulátort. Ha a szögekre is kíváncsi vagy, a derékszögű háromszög kalkulátor a sin, cos és tg értékeket is megadja.
Gyakori kérdések
Mi a Pitagorasz-tétel képlete?
a² + b² = c², ahol a és b a derékszögű háromszög befogói, c az átfogó.
Hogyan számolom ki az átfogót?
Emeld négyzetre a két befogót, add össze, és vonj belőle négyzetgyököt: c = √(a² + b²). 6 és 8 befogónál c = 10.
Hogyan számolom ki a befogót?
Az átfogó négyzetéből vond ki az ismert befogó négyzetét, és vonj gyököt: a = √(c² − b²).
Csak derékszögű háromszögre igaz a tétel?
Igen. Más háromszögben a koszinusztétel érvényes: c² = a² + b² − 2ab · cos γ, ami 90°-os γ esetén éppen a Pitagorasz-tétel.
Jogi nyilatkozat: Az oldal és a kalkulátor eredménye tájékoztató jellegű, nem minősül jogi, adó- vagy pénzügyi tanácsadásnak.
Ellenőrizve: