A kúp képletei
Az egyenes körkúp egy körlapból (alaplap) és egy csúcsba futó palástból áll. A magasság (m) a csúcs és az alaplap távolsága, az alkotó (a) a csúcsot az alapkör egy pontjával összekötő szakasz. A sugár, a magasság és az alkotó derékszögű háromszöget alkot, ezért a Pitagorasz-tétel szerint a = √(R² + m²).
- Térfogat: V = R² · π · m / 3 (az azonos alapú és magasságú henger harmada)
- Palást: P = R · π · a
- Felszín: A = R² · π + R · π · a = Rπ(R + a)
Példa: R = 3 cm, m = 4 cm. Az alkotó √(9 + 16) = 5 cm. A térfogat 9 · π · 4 / 3 = 37,70 cm³, a palást 3 · π · 5 = 47,12 cm², a felszín 9π + 15π = 24π = 75,40 cm².
A csonkakúp képletei
A csonkakúpot úgy kapjuk, hogy a kúp csúcsát az alaplappal párhuzamos síkkal levágjuk. Két különböző sugarú körlapja van (R és r), az alkotója a = √((R − r)² + m²).
- Térfogat: V = m · π · (R² + R · r + r²) / 3
- Palást: P = (R + r) · π · a
- Felszín: A = R²π + r²π + (R + r)πa
Példa: R = 5 cm, r = 3 cm és m = 4 cm esetén az alkotó √(4 + 16) = 4,47 cm, a térfogat 4π(25 + 15 + 9) / 3 = 205,25 cm³, a felszín 219,21 cm².
Gyakorlati példák
- Homokkupac, sóderhalom: nagyjából kúp alakú. Egy 1,2 m magas, 4 m alapátmérőjű kupac térfogata 2² · π · 1,2 / 3 = 5,03 m³.
- Vödör, virágcserép: csonkakúp. Űrtartalmát dm-ben számolva literben kapod.
- Tölcsér, fagylalttölcsér: kúp; a palástja adja, mennyi anyag kell a kiterített formához.
Kúp és henger összevetése
| R | m | Henger térfogata | Kúp térfogata |
|---|---|---|---|
| 3 cm | 4 cm | 113,10 cm³ | 37,70 cm³ |
| 5 cm | 10 cm | 785,40 cm³ | 261,80 cm³ |
| 10 cm | 30 cm | 9 424,78 cm³ | 3 141,59 cm³ |
Ha a magasság nem ismert, de az alkotó igen, a magasság m = √(a² − R²). Ehhez a Pitagorasz-tétel kalkulátor is használható. A szögletes alapú változatot a gúla kalkulátor számolja.
Gyakori kérdések
Mi a kúp térfogatának képlete?
V = R² · π · m / 3. A kúp térfogata az azonos alapú és magasságú henger térfogatának harmada.
Hogyan számolom ki a kúp alkotóját?
Pitagorasz-tétellel: a = √(R² + m²). R = 3 és m = 4 esetén az alkotó 5.
Mi a kúp felszínének képlete?
A = R²π + Rπa, vagyis az alapkör és a palást területének összege.
Hogyan számolom a csonkakúp térfogatát?
V = m · π · (R² + R · r + r²) / 3, ahol R és r a két körlap sugara, m a magasság.
Jogi nyilatkozat: Az oldal és a kalkulátor eredménye tájékoztató jellegű, nem minősül jogi, adó- vagy pénzügyi tanácsadásnak.
Ellenőrizve: