Vektor hossza (abszolút értéke)
Egy a = (a₁; a₂) síkbeli vektor hossza a Pitagorasz-tételből jön: |a| = √(a₁² + a₂²). Térben egy koordinátával több tag van: |a| = √(a₁² + a₂² + a₃²).
Példa: a = (3; 4) hossza √(9 + 16) = 5, b = (1; 2) hossza √5 = 2,236.
Összeg és különbség
Vektorokat koordinátánként adunk össze és vonunk ki: a + b = (a₁ + b₁; a₂ + b₂), a − b = (a₁ − b₁; a₂ − b₂). Rajzon az összeg a két vektorból szerkesztett paralelogramma átlója.
(3; 4) + (1; 2) = (4; 6), (3; 4) − (1; 2) = (2; 2).
Skaláris szorzat és bezárt szög
A skaláris szorzat egy szám: a · b = a₁b₁ + a₂b₂ (+ a₃b₃). Ugyanez geometriailag |a| · |b| · cos φ, ahol φ a két vektor szöge. Ebből a szög:
cos φ = (a · b) / (|a| · |b|)
a · b = 3 · 1 + 4 · 2 = 11. cos φ = 11 / (5 · 2,236) = 0,9839, így φ = 10,30°.
Ha a skaláris szorzat 0, a két vektor merőleges egymásra; ha negatív, a bezárt szög tompaszög.
Vektoriális szorzat (csak térben)
Két térbeli vektor vektoriális szorzata egy mindkettőre merőleges vektor:
a × b = (a₂b₃ − a₃b₂; a₃b₁ − a₁b₃; a₁b₂ − a₂b₁)
A hossza a két vektor által kifeszített paralelogramma területe, a fele pedig a háromszögé. Például (1; 2; 3) × (4; 5; 6) = (−3; 6; −3), hossza √54 = 7,35, vagyis a két vektor által kifeszített háromszög területe 3,67.
Összefoglaló táblázat
| Művelet | Képlet | Eredmény típusa |
|---|---|---|
| Hossz | √(a₁² + a₂² + a₃²) | szám |
| Összeg | (a₁ + b₁; a₂ + b₂; a₃ + b₃) | vektor |
| Skaláris szorzat | a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ | szám |
| Bezárt szög | arccos(a · b / (|a||b|)) | szög |
| Vektoriális szorzat | (a₂b₃ − a₃b₂; a₃b₁ − a₁b₃; a₁b₂ − a₂b₁) | vektor (csak 3D) |
Hol használjuk?
- Fizika: erők eredője (összeg), munka (erő és elmozdulás skaláris szorzata), forgatónyomaték (vektoriális szorzat).
- Koordináta-geometria: két pont távolsága a különbségvektor hossza; merőlegesség ellenőrzése skaláris szorzattal.
- Számítógépes grafika: felületek normálvektora vektoriális szorzattal.
Mátrixos számolásokhoz a mátrix kalkulátor, a szögfüggvényekhez a derékszögű háromszög kalkulátor használható.
Gyakori kérdések
Hogyan számolom ki egy vektor hosszát?
A koordináták négyzetösszegéből gyököt vonsz: |(3; 4)| = √(9 + 16) = 5.
Hogyan számolom ki két vektor bezárt szögét?
cos φ = (a · b) / (|a| · |b|), majd arccos. (3; 4) és (1; 2) szöge 10,30°.
Mikor merőleges két vektor?
Ha a skaláris szorzatuk nulla, például (2; 1) és (−1; 2): 2 · (−1) + 1 · 2 = 0.
Mi a vektoriális szorzat?
Két térbeli vektorra merőleges vektor, amelynek hossza a két vektor által kifeszített paralelogramma területe.
Jogi nyilatkozat: Az oldal és a kalkulátor eredménye tájékoztató jellegű, nem minősül jogi, adó- vagy pénzügyi tanácsadásnak.
Ellenőrizve: