A derékszögű háromszög részei
A derékszögű háromszögben a derékszöggel szemközti, leghosszabb oldal az átfogó (c), a derékszöget közrefogó két oldal a befogók (a és b). A két hegyesszög összege 90°, így ha az egyiket ismered, a másik is megvan: β = 90° − α.
A szögfüggvények képletei
A szögfüggvények a hegyesszög és az oldalak arányát kötik össze. Az α szögre nézve az a befogó a szemközti, a b befogó a szög melletti befogó:
- sin α = szemközti befogó / átfogó = a / c
- cos α = szög melletti befogó / átfogó = b / c
- tg α (tan α) = szemközti befogó / szög melletti befogó = a / b
Ezekből bármelyik hiányzó adat kifejezhető. Ha egy szöget keresel, a függvény inverzét használod: α = arctg(a / b), α = arcsin(a / c) és így tovább. Az oldalak közötti kapcsolatot a Pitagorasz-tétel adja: a² + b² = c².
Példa: a két befogó a = 3 és b = 4. Az átfogó √(9 + 16) = 5. Az α szög arctg(3 / 4) = 36,87°, a β szög 90° − 36,87° = 53,13°. A terület a · b / 2 = 6, az átfogóhoz tartozó magasság a · b / c = 2,4.
Példa szöggel: egy létra 30°-os szöget zár be a fallal, és a fal tövétől 10 dm-re áll (ez az α-val szemközti befogó). Ekkor a létra hossza c = a / sin α = 10 / 0,5 = 20 dm, a létra teteje b = a / tg α = 17,32 dm magasan van.
Nevezetes szögek szögfüggvényei
| Szög | sin | cos | tg (tan) |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 = 0 | 1 = 1 | 0 = 0 |
| 30° | 1/2 = 0,5 | √3/2 = 0,866 | √3/3 = 0,5774 |
| 45° | √2/2 = 0,7071 | √2/2 = 0,7071 | 1 = 1 |
| 60° | √3/2 = 0,866 | 1/2 = 0,5 | √3 = 1,7321 |
| 90° | 1 = 1 | 0 = 0 | nincs értelmezve |
Hol használjuk?
- Lejtők, rámpák: egy rámpa emelkedési szöge arctg(magasság / vízszintes hossz). A 6%-os rámpa szöge arctg(0,06) = 3,43°.
- Tetőszerkezet: a szarufa hossza a félfesztávolság és a tetőhajlás koszinuszának hányadosa.
- Magasságmérés: ha egy fától 20 m-re állva 35°-os szögben látod a csúcsát, a fa magassága (szemmagasság felett) 20 · tg 35° = 14 m.
Általános, nem derékszögű háromszöghöz a háromszög kalkulátor használható, a fok és radián közötti számoláshoz pedig a tudományos számológép.
Gyakori kérdések
Mi a szinusz a derékszögű háromszögben?
A szöggel szemközti befogó és az átfogó hányadosa: sin α = a / c. Például 30°-nál ez 0,5.
Hogyan számolom ki a szöget két oldalból?
Az inverz szögfüggvénnyel. Két befogóból α = arctg(a / b), befogóból és átfogóból α = arcsin(a / c). A 3 és 4 befogójú háromszög kisebbik szöge 36,87°.
Mekkora a derékszögű háromszög területe?
A két befogó szorzatának fele: T = a · b / 2, mert a befogók egymás magasságai.
Mi a különbség a tg és a tan között?
Nincs: ugyanaz a tangens függvény. Magyar tankönyvekben tg, számológépeken és angol nyelvű forrásokban tan a jelölése.
Jogi nyilatkozat: Az oldal és a kalkulátor eredménye tájékoztató jellegű, nem minősül jogi, adó- vagy pénzügyi tanácsadásnak.
Ellenőrizve: