Mit jelent a gyökvonás?
Az a szám n-edik gyöke az a (nem negatív) szám, amelynek n-edik hatványa a: ⁿ√a = b, ha bⁿ = a. A négyzetgyök (n = 2) azt a számot keresi, amelyet önmagával szorozva a-t kapunk, a köbgyök (n = 3) azt, amelynek a köbe a. A gyökvonás a hatványozás megfordítása, és felírható tört kitevővel is: ⁿ√a = a^(1/n).
Példa (alapértelmezett értékek): √72 ≈ 8,4853, mert 8,4853² ≈ 72. Egyszerűsítve: 72 = 36 · 2, és a 36 négyzetszám, ezért √72 = √36 · √2 = 6√2.
Gyök egyszerűsítése (kiemelés a gyökjel elé)
Ha a gyök alatti szám felbontható egy teljes négyzet (köbgyöknél teljes köb) és egy másik szám szorzatára, a teljes négyzet gyöke kiemelhető. A módszer: bontsd prímtényezőkre a számot, és minden n azonos prímtényezőből egyet vigyél ki a gyökjel elé.
- √50 = √(25 · 2) = 5√2
- √48 = √(16 · 3) = 4√3
- ∛54 = ∛(27 · 2) = 3∛2
- ∛250 = ∛(125 · 2) = 5∛2
Iskolai feladatoknál általában ez az elvárt végeredmény, nem a tizedes közelítés. A prímtényezős felbontáshoz a prímszám kalkulátort is használhatod.
Negatív szám gyöke
Páros gyökkitevőnél (négyzetgyök, negyedik gyök) negatív számnak nincs valós gyöke, mert bármely valós szám páros hatványa nem negatív. Páratlan gyökkitevőnél van: ∛(−8) = −2, mert (−2)³ = −8. A kalkulátor ezt a szabályt követi.
Négyzetszámok és köbszámok táblázata
| n | n² | √ (n²) = n | n³ |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | √1 = 1 | 1 |
| 2 | 4 | √4 = 2 | 8 |
| 3 | 9 | √9 = 3 | 27 |
| 4 | 16 | √16 = 4 | 64 |
| 5 | 25 | √25 = 5 | 125 |
| 6 | 36 | √36 = 6 | 216 |
| 7 | 49 | √49 = 7 | 343 |
| 8 | 64 | √64 = 8 | 512 |
| 9 | 81 | √81 = 9 | 729 |
| 10 | 100 | √100 = 10 | 1 000 |
| 11 | 121 | √121 = 11 | 1 331 |
| 12 | 144 | √144 = 12 | 1 728 |
| 13 | 169 | √169 = 13 | 2 197 |
| 14 | 196 | √196 = 14 | 2 744 |
| 15 | 225 | √225 = 15 | 3 375 |
| 16 | 256 | √256 = 16 | 4 096 |
| 17 | 289 | √289 = 17 | 4 913 |
| 18 | 324 | √324 = 18 | 5 832 |
| 19 | 361 | √361 = 19 | 6 859 |
| 20 | 400 | √400 = 20 | 8 000 |
Gyök becslése fejben
Keresd meg a két szomszédos négyzetszámot: √72 a √64 = 8 és a √81 = 9 közé esik, közelebb a 8-hoz. Lineáris közelítéssel 8 + (72 − 64) / (81 − 64) ≈ 8,47, ami már csak 0,02-dal tér el a pontos 8,4853-tól. A gyakorlatban a négyzetgyök kell például a Pitagorasz-tételnél (átló, átfogó kiszámítása), a köbgyök pedig ha egy ismert térfogatú kocka élét keresed.
Gyakori kérdések
Hogyan kell gyököt vonni számológép nélkül?
Keresd meg a két szomszédos négyzetszámot, és közelíts: √72 a 8 és a 9 között van, közelebb a 8-hoz, értéke kb. 8,49.
Mennyi √72 egyszerűsítve?
6√2, mert 72 = 36 · 2 és √36 = 6. Tizedes alakban kb. 8,4853.
Van-e negatív számnak négyzetgyöke?
A valós számok körében nincs, mert egy valós szám négyzete sosem negatív. Köbgyöke viszont van: ∛(−8) = −2.
Hogyan írható fel a gyök hatványként?
Tört kitevővel: ⁿ√a = a^(1/n), például ∛27 = 27^(1/3) = 3.
Jogi nyilatkozat: Az oldal és a kalkulátor eredménye tájékoztató jellegű, nem minősül jogi, adó- vagy pénzügyi tanácsadásnak.
Ellenőrizve: