A paralelogramma képletei
A paralelogramma olyan négyszög, amelynek szemközti oldalai párhuzamosak és egyenlő hosszúak. A szemközti szögei egyenlők, a szomszédos szögek összege 180°. A téglalap, a rombusz és a négyzet mind speciális paralelogramma.
- Terület alapból és magasságból: T = a · ma
- Terület két oldalból és szögből: T = a · b · sin α
- Kerület: K = 2 · (a + b)
- Magasság: ma = b · sin α, mb = a · sin α
- Átlók: e² = a² + b² + 2ab · cos α, f² = a² + b² − 2ab · cos α
A terület nem a két oldal szorzata (az csak a téglalapnál igaz). Ha a paralelogrammát „eldöntjük”, az oldalak nem változnak, a magasság viszont csökken, így a terület is.
Példa: a = 8 cm, b = 5 cm, α = 60°. A terület 8 · 5 · sin 60° = 40 · 0,8660 = 34,641 cm², a kerület 2 · (8 + 5) = 26 cm. Az a-hoz tartozó magasság 5 · sin 60° = 4,3301 cm. A rövidebb átló √(64 + 25 − 40) = 7 cm, a hosszabb √129 = 11,3578 cm.
Miért a · m a terület?
Ha a paralelogramma egyik végéről levágunk egy derékszögű háromszöget a magasság mentén, és áttesszük a másik végére, egy a × m méretű téglalapot kapunk. A terület tehát ugyanaz, mint egy azonos alapú és magasságú téglalapé.
Az átlók tulajdonságai
A paralelogramma átlói felezik egymást. A két átló négyzetösszege egyenlő az oldalak négyzetösszegének kétszeresével: e² + f² = 2(a² + b²). A példában 129 + 49 = 178 = 2 · (64 + 25). Ha az átlók egyenlők, a paralelogramma téglalap, ha merőlegesek egymásra, rombusz.
| α | sin α | Terület (a = 8, b = 5) |
|---|---|---|
| 30° | 0,5000 | 20,0000 |
| 45° | 0,7071 | 28,2843 |
| 60° | 0,8660 | 34,6410 |
| 75° | 0,9659 | 38,6370 |
| 90° | 1,0000 | 40,0000 |
Gyakori hiba: ferde oldal a magasság helyett
Iskolai feladatokban és burkolásnál is előfordul, hogy a ferde b oldalt szorozzák az alappal. A példa paralelogrammájánál ez 40 cm² lenne a valódi 34,64 cm² helyett, vagyis 15%-kal több. Minél laposabb a paralelogramma, annál nagyobb a tévedés: 30°-os szögnél már a duplája.
A terület két oldalból és szögből ugyanaz a képlet, mint a háromszögnél, csak nincs osztás kettővel: egy átló a paralelogrammát két egybevágó háromszögre bontja.
Gyakori kérdések
Hogyan számolom ki a paralelogramma területét?
Az alapot szorozd meg a hozzá tartozó magassággal: T = a · m. Ha a magasság helyett a szöget ismered: T = a · b · sin α.
Mi a paralelogramma kerülete?
K = 2 · (a + b), mert a szemközti oldalak egyenlők.
Miért nem a két oldal szorzata a terület?
Mert a ferde oldal hosszabb a magasságnál. A két oldal szorzata csak akkor adja a területet, ha a szög 90°, vagyis téglalapnál.
Hogyan számolom ki a paralelogramma átlóit?
A koszinusztétellel: e² = a² + b² + 2ab · cos α és f² = a² + b² − 2ab · cos α.
Jogi nyilatkozat: Az oldal és a kalkulátor eredménye tájékoztató jellegű, nem minősül jogi, adó- vagy pénzügyi tanácsadásnak.
Ellenőrizve: