A normális eloszlás és a z-érték
A normális (Gauss-) eloszlás a harang alakú görbe, amelyet két szám határoz meg: a várható érték (μ), ahol a csúcs van, és a szórás (σ), ami a görbe szélességét adja. Sok mért mennyiség (testmagasság, mérési hiba, tesztpontszám) közel normális eloszlású.
Bármely normális eloszlás átváltható a standard normális eloszlásra (μ = 0, σ = 1) a z-érték segítségével:
z = (x − μ) / σ
A z-érték megmutatja, hány szórásnyira van x az átlagtól. A P(X < x) valószínűség a standard normális eloszlásfüggvény értéke z-ben: Φ(z).
Példa: az IQ-pontszámok eloszlása μ = 100, σ = 15. Mennyi az esélye, hogy valakinek 115 alatti az IQ-ja? z = (115 − 100) / 15 = 1, Φ(1) = 0,8413, vagyis 84,13%. 115 felett a népesség 15,87%-a van.
A 68-95-99,7 szabály
A normális eloszlásnál az értékek adott hányada esik az átlag körüli sávokba. Ez fejben számoláshoz is jó becslés:
| Sáv | Benne lévő hányad | Kívül eső hányad |
|---|---|---|
| μ ± 1σ | 68,27% | 31,73% |
| μ ± 2σ | 95,45% | 4,55% |
| μ ± 3σ | 99,73% | 0,27% |
Az IQ példájában a népesség kb. 68%-ának 85 és 115 közötti, 95%-ának 70 és 130 közötti a pontszáma. 130 fölött csak kb. 2,28% van.
Gyakori z-értékek táblázata
| z | P(Z < z) | z | P(Z < z) |
|---|---|---|---|
| 0,0 | 0,5000 | 1,645 | 0,9500 |
| 0,5 | 0,6915 | 1,96 | 0,9750 |
| 1,0 | 0,8413 | 2,0 | 0,9772 |
| 1,5 | 0,9332 | 2,326 | 0,9900 |
| 2,5 | 0,9938 | 2,576 | 0,9950 |
| 3,0 | 0,9987 | 3,5 | 0,9998 |
A táblázat a P(Z < z) értékeket adja meg. Negatív z-re a szimmetria miatt Φ(−z) = 1 − Φ(z). A 95%-os kétoldali konfidenciaintervallum ezért a ±1,96 szórásnyi sáv.
Kvantilis: fordított irányú kérdés
Ha azt keressük, hogy melyik érték alatt van a népesség p százaléka, az eloszlásfüggvény inverzére van szükség: x = μ + z · σ, ahol Φ(z) = p. A 95. percentilis z = 1,6449, az IQ-skálán ez 100 + 1,6449 · 15 = 124,67 pont.
Honnan van μ és σ?
Saját adatsorból a számtani átlag adja μ becslését, a szórást a szórás kalkulátor számolja ki, az átlagot az átlag kalkulátor. A kalkulátor az eloszlásfüggvényt nagy pontosságú sorfejtéssel, a kvantilist Acklam-féle közelítéssel és egy Newton-lépéssel számolja, az eredmény 4 tizedesjegyre pontos.
Gyakori kérdések
Hogyan számolom ki a z-értéket?
Vond ki az értékből a várható értéket, és oszd el a szórással: z = (x − μ) / σ. 115 pont IQ-nál z = (115 − 100) / 15 = 1.
Mit jelent a 68-95-99,7 szabály?
Normális eloszlásnál az értékek kb. 68%-a esik az átlagtól egy szórásnyi, 95%-a két szórásnyi, 99,7%-a három szórásnyi távolságon belülre.
Mennyi Φ(1,96)?
0,975. Ezért a ±1,96 szórásnyi sáv tartalmazza az értékek 95%-át, ez a 95%-os konfidenciaintervallum alapja.
Hogyan kapom meg a percentilist?
A kalkulátor kvantilis módjában add meg a százalékot: például 95% esetén μ + 1,6449 · σ az az érték, amely alatt az adatok 95%-a van.
Jogi nyilatkozat: Az oldal és a kalkulátor eredménye tájékoztató jellegű, nem minősül jogi, adó- vagy pénzügyi tanácsadásnak.
Ellenőrizve: