Melyik képlet kell? Két kérdés dönt
A kombinatorikai feladatok többsége két kérdéssel besorolható: számít-e a sorrend, és választhatjuk-e ugyanazt az elemet többször.
| Típus | Sorrend | Ismétlés | Képlet |
|---|---|---|---|
| Permutáció | számít | nincs | n! |
| Ismétléses permutáció | számít | egyforma elemek | n! / (k₁! · k₂! · …) |
| Variáció | számít | nincs | n! / (n − k)! |
| Ismétléses variáció | számít | van | nᵏ |
| Kombináció | nem számít | nincs | n! / (k! · (n − k)!) |
| Ismétléses kombináció | nem számít | van | (n + k − 1)! / (k! · (n − 1)!) |
Az n! (n faktoriális) az 1-től n-ig terjedő egész számok szorzata, például 5! = 120. A kombináció jelölése a binomiális együttható: C(n, k), amit „n alatt a k”-nak olvasunk. A faktoriálisok gyors kiszámolásához a faktoriális kalkulátor is használható.
Kombináció: hányféle lottószelvény van?
Az ötöslottón 90 számból 5-öt húznak, és a húzás sorrendje nem számít. Ez ismétlés nélküli kombináció:
Példa: C(90, 5) = 90! / (5! · 85!) = (90 · 89 · 88 · 87 · 86) / (5 · 4 · 3 · 2 · 1) = 5 273 912 160 / 120 = 43 949 268. Ennyiféle szelvényt lehet kitölteni, és csak egy nyer telitalálatot.
| Játék | Húzás | Lehetséges szelvények |
|---|---|---|
| Ötöslottó | 90-ből 5 | 43 949 268 |
| Hatoslottó | 45-ből 6 | 8 145 060 |
| Skandináv lottó (egy húzás) | 35-ből 7 | 6 724 520 |
Variáció: amikor a sorrend is számít
Ha egy 10 fős csapatból elnököt, titkárt és pénztárost választunk, a sorrend számít (más-más tisztség), ismétlés nincs: V = 10! / 7! = 10 · 9 · 8 = 720. Ha a kiválasztott elemek ismétlődhetnek, ismétléses variációról van szó: egy négyjegyű PIN-kód 10⁴ = 10 000-féle lehet, egy 10 kérdéses igaz-hamis teszt 2¹⁰ = 1024-féleképpen tölthető ki.
Permutáció: sorba rendezés
n különböző elem n!-féle sorrendbe állítható. Öt könyv a polcon 5! = 120-féleképpen rendezhető. Ha vannak egyforma elemek, azok egymás közti cseréje nem ad új sorrendet, ezért osztunk: a MATEK szó betűi 5! = 120, a MAMA szó betűi csak 4! / (2! · 2!) = 6-féleképpen rakhatók sorba (két M és két A).
Ismétléses kombináció
Ha 3 fajta fagyiból 5 gombócot kérünk, és a sorrend nem számít, de egy ízből többet is választhatunk, a lehetőségek száma C(n + k − 1, k) = C(7, 5) = 21. Ugyanez a képlet adja meg, hányféleképpen osztható szét k egyforma tárgy n ember között.
Az esélyek kiszámolásához (például hány százalék a négyes találat) lásd a valószínűség kalkulátort.
Gyakori kérdések
Mi a különbség a variáció és a kombináció között?
A variációnál számít a kiválasztott elemek sorrendje, a kombinációnál nem. 10 emberből 3-at 720-féleképpen lehet sorrendben kiválasztani, de csak 120 különböző háromfős csoport van.
Hányféle ötöslottó szelvény van?
C(90, 5) = 43 949 268 különböző számkombináció.
Mit jelent az n alatt a k?
A binomiális együtthatót: hányféleképpen választható ki k elem n közül, ha a sorrend nem számít. Képlete n! / (k! · (n − k)!).
Mikor használjunk ismétléses permutációt?
Ha egyforma elemeket rendezünk sorba, például egy szó betűit, amelyben egy betű többször szerepel. Az egyforma elemek számainak faktoriálisaival osztunk.
Jogi nyilatkozat: Az oldal és a kalkulátor eredménye tájékoztató jellegű, nem minősül jogi, adó- vagy pénzügyi tanácsadásnak.
Ellenőrizve: