Mi a faktoriális?
Egy pozitív egész szám faktoriálisa (jele n!, kiolvasva „n faktoriális”) az 1-től n-ig terjedő egész számok szorzata. Megállapodás szerint 0! = 1.
- n! = 1 · 2 · 3 · … · n
- n! = n · (n − 1)!
Példa: 10! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 = 3 628 800. Ez 7 jegyű szám, és 2 nullára végződik.
Mire használjuk?
A faktoriális a kombinatorika alapja: n különböző tárgyat n! sorrendbe lehet rakni. 5 könyv egy polcon 5! = 120-féleképpen állhat, egy 52 lapos kártyapakli pedig 52! ≈ 8,07 · 1067-féleképpen keverhető, így szinte biztos, hogy egy alaposan megkevert pakli sorrendje még soha nem fordult elő. A kombinációk száma is faktoriálisokkal írható fel: C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!).
Faktoriális táblázat 0-tól 15-ig
| n | n! | n | n! |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 8 | 40 320 |
| 1 | 1 | 9 | 362 880 |
| 2 | 2 | 10 | 3 628 800 |
| 3 | 6 | 11 | 39 916 800 |
| 4 | 24 | 12 | 479 001 600 |
| 5 | 120 | 13 | 6 227 020 800 |
| 6 | 720 | 14 | 87 178 291 200 |
| 7 | 5 040 | 15 | 1 307 674 368 000 |
Milyen gyorsan nő?
A faktoriális minden hatványfüggvénynél és exponenciális függvénynél gyorsabban nő. 20! már 19 jegyű, 100! 158 jegyű, 1000! 2568 jegyű szám. Egy átlagos zsebszámológép 69!-ig bírja (ez körülbelül 1,71 · 1098), 70! már meghaladja a 10100-at. A böngészők lebegőpontos számai 170!-ig adnak közelítő értéket, ez a kalkulátor viszont tetszőleges pontosságú egész számokkal (BigInt) számol, ezért 1000!-ig minden jegy pontos.
Nagy n-re jó közelítés a Stirling-formula: n! ≈ √(2πn) · (n / e)n. 10-re ez 3 598 696-ot ad, ami csak 0,8%-kal kevesebb a pontos értéknél, és a relatív hiba n növekedésével tovább csökken.
Hány nullára végződik n!?
A végződő nullák számát az adja, hányszor szerepel az 5 prímtényezőként (2-es tényező mindig több van). Ezt Legendre képletével számoljuk: ⌊n/5⌋ + ⌊n/25⌋ + ⌊n/125⌋ + … Például 100! végén 20 + 4 = 24 nulla áll, 1000! végén 200 + 40 + 8 + 1 = 249.
Nem egész számok faktoriálisa
A faktoriális a Gamma-függvénnyel kiterjeszthető nem egész számokra is (n! = Γ(n + 1)), például 0,5! = √π / 2 ≈ 0,8862. Negatív egész számoknak nincs faktoriálisa. Ez a kalkulátor nem negatív egészekre számol. A nagy eredmények normálalakjáról a normálalak átváltó oldalon olvashatsz.
Gyakori kérdések
Mennyi 0 faktoriális?
0! = 1. Ez megállapodás, de következetes: üres halmazt egyféleképpen lehet sorba rendezni, és így teljesül az n! = n · (n − 1)! összefüggés 1-re is.
Mennyi 10 faktoriális?
10! = 3 628 800.
Hány nullára végződik 100!?
24 nullára: ⌊100/5⌋ + ⌊100/25⌋ = 20 + 4.
Van negatív számnak faktoriálisa?
Negatív egész számnak nincs. Nem egész számokra a Gamma-függvény ad értéket.
Jogi nyilatkozat: Az oldal és a kalkulátor eredménye tájékoztató jellegű, nem minősül jogi, adó- vagy pénzügyi tanácsadásnak.
Ellenőrizve: