Mit jelent a hatványozás?
A hatványozás ismételt szorzás: aⁿ azt jelenti, hogy az a alapot önmagával n-szer összeszorozzuk. Az n a kitevő, az eredmény a hatványérték. Például 2³ = 2 · 2 · 2 = 8.
Példa (alapértelmezett értékek): 2¹⁰ = 2 · 2 · … · 2 (tízszer) = 1024. Ezért van egy kibibájtban 1024 bájt, és ezért mondják, hogy 10 duplázás nagyjából ezerszeres növekedés.
Nulla, negatív és tört kitevő
- a⁰ = 1 minden a ≠ 0 esetén (a 0⁰ értékét a kalkulátor a szokásos megállapodás szerint 1-nek veszi).
- Negatív kitevő: a⁻ⁿ = 1 / aⁿ. Például 2⁻³ = 1/8 = 0,125.
- Tört kitevő: a^(1/n) az n-edik gyök, a^(p/q) = (q-adik gyök a)ᵖ. Például 16^0,5 = √16 = 4, 8^(2/3) = 4. Ehhez a gyökvonás kalkulátor részletesebb.
- Negatív alapnak tört kitevős hatványa a valós számok körében általában nem értelmezett (például (−8)^0,5), ilyenkor a kalkulátor jelez.
A hatványozás azonosságai
| Azonosság | Példa |
|---|---|
| aⁿ · aᵐ = aⁿ⁺ᵐ | 2³ · 2⁴ = 2⁷ = 128 |
| aⁿ : aᵐ = aⁿ⁻ᵐ | 5⁶ : 5⁴ = 5² = 25 |
| (aⁿ)ᵐ = aⁿ·ᵐ | (3²)³ = 3⁶ = 729 |
| (a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ | (2 · 5)³ = 8 · 125 = 1000 |
| (a / b)ⁿ = aⁿ / bⁿ | (2/3)² = 4/9 |
| a⁻ⁿ = 1 / aⁿ | 10⁻² = 0,01 |
| a^(1/n) = ⁿ√a | 27^(1/3) = 3 |
Gyakori hiba, hogy a hatványozást az összeadásra is kiterjesztik: (a + b)² nem a² + b², hanem a² + 2ab + b². Például (3 + 4)² = 49, míg 3² + 4² = 25.
Nagy hatványok pontosan
A számológépek és a táblázatkezelők 15-16 értékes jegyig pontosak, utána kerekítenek. A 2⁶⁴ = 18 446 744 073 709 551 616 egy átlagos számológépen 1,8447 · 10¹⁹ alakban jelenik meg. Ez a kalkulátor egész alapnál és nem negatív egész kitevőnél a pontos egész számot írja ki (legfeljebb néhány ezer jegyig), mellette a normálalakot is megadja.
Hatványok a gyakorlatban
Hatványokkal írjuk le a kamatos kamatot (tőke · (1 + kamatláb)ⁿ), a terület- és térfogatszámítást (a négyzet területe a², a kocka térfogata a³), a számítástechnikai mértékegységeket (2¹⁰, 2²⁰, 2³⁰) és a nagyon nagy vagy kicsi fizikai mennyiségeket (10⁹ nanométer egy méter). A hatványozás inverz művelete a gyökvonás (az alapot keresi) és a logaritmus (a kitevőt keresi).
Gyakori kérdések
Mennyi bármely szám nulladik hatványa?
1, ha az alap nem nulla. Például 7⁰ = 1, (−3)⁰ = 1.
Mit jelent a negatív kitevő?
A hatvány reciprokát: a⁻ⁿ = 1 / aⁿ. Például 2⁻³ = 1/8 = 0,125.
Hogyan számolom ki a tört kitevős hatványt?
A nevező a gyökkitevő, a számláló a kitevő: 8^(2/3) = (∛8)² = 2² = 4. A kalkulátorba tizedes kitevőt írhatsz, például 0,5.
Mennyi 2 a 64-en?
2⁶⁴ = 18 446 744 073 709 551 616, ez egy húszjegyű szám.
Jogi nyilatkozat: Az oldal és a kalkulátor eredménye tájékoztató jellegű, nem minősül jogi, adó- vagy pénzügyi tanácsadásnak.
Ellenőrizve: