A determináns kiszámolása
A determináns egy négyzetes mátrixhoz rendelt szám. Ha nulla, a mátrixnak nincs inverze, és a hozzá tartozó egyenletrendszernek nincs egyértelmű megoldása.
- 2×2: det [[a, b], [c, d]] = a · d − b · c
- 3×3 (Sarrus-szabály): a főátló irányú három szorzat összegéből kivonjuk a mellékátló irányú három szorzat összegét.
Példa: A = [[2, 1, 3], [1, 0, 2], [4, 1, 1]]. Kifejtés az első sor szerint: det(A) = 2 · (0 · 1 − 2 · 1) − 1 · (1 · 1 − 2 · 4) + 3 · (1 · 1 − 0 · 4) = 2 · (−2) − 1 · (−7) + 3 · 1 = −4 + 7 + 3 = 6.
Inverz mátrix
Az A mátrix inverze az az A⁻¹ mátrix, amellyel szorozva az egységmátrixot kapjuk: A · A⁻¹ = E. Csak akkor létezik, ha det(A) ≠ 0. Kiszámolása: A⁻¹ = adj(A) / det(A), ahol az adjungált mátrix az előjeles aldeterminánsok transzponáltja. 2×2-es esetben egyszerű:
[[a, b], [c, d]]⁻¹ = 1 / (ad − bc) · [[d, −b], [−c, a]]
A példamátrix inverze törtekkel:
| 1. oszlop | 2. oszlop | 3. oszlop | |
|---|---|---|---|
| 1. sor | −1/3 | 1/3 | 1/3 |
| 2. sor | 7/6 | −5/3 | −1/6 |
| 3. sor | 1/6 | 1/3 | −1/6 |
Ellenőrzés: az első sor és az első oszlop szorzata 2 · (−1/3) + 1 · 7/6 + 3 · 1/6 = −2/3 + 7/6 + 1/2 = 1, ahogy az egységmátrixban.
Mátrixok szorzása
Az A · B szorzat i-edik sorának j-edik eleme A i-edik sorának és B j-edik oszlopának skaláris szorzata: a sorok és oszlopok elemeit páronként összeszorozzuk és összeadjuk. A szorzás nem felcserélhető, A · B általában nem egyenlő B · A-val.
A fenti A és B = [[1, 0, 2], [0, 1, 1], [1, 1, 0]] szorzatának bal felső eleme: 2 · 1 + 1 · 0 + 3 · 1 = 5. A teljes szorzat: [[5, 4, 5], [3, 2, 2], [5, 2, 9]].
Összeadás és transzponálás
Azonos méretű mátrixokat elemenként adunk össze vagy vonunk ki. A transzponált (Aᵀ) a sorok és oszlopok felcserélésével jön létre: az első sorból első oszlop lesz. A determináns a transzponálás során nem változik.
Mire használják?
Lineáris egyenletrendszerek megoldására (lásd az egyenletrendszer megoldót), geometriai transzformációkra (forgatás, nyújtás), a számítógépes grafikában és a statisztikában. Vektorműveletekhez a vektor kalkulátor használható.
Gyakori kérdések
Hogyan számolom ki egy 2×2-es mátrix determinánsát?
A főátló szorzatából vond ki a mellékátló szorzatát: [[a, b], [c, d]] determinánsa a · d − b · c.
Mikor nincs egy mátrixnak inverze?
Ha a determinánsa nulla. Ilyenkor a mátrix szinguláris, sorai (oszlopai) lineárisan összefüggők.
Felcserélhető a mátrixszorzás?
Nem, A · B általában nem egyenlő B · A-val. Az összeadás viszont felcserélhető.
Mi a Sarrus-szabály?
A 3×3-as determináns számolási módja: a főátlóval párhuzamos három szorzat összegéből kivonjuk a mellékátlóval párhuzamos három szorzat összegét. Nagyobb mátrixokra nem érvényes.
Jogi nyilatkozat: Az oldal és a kalkulátor eredménye tájékoztató jellegű, nem minősül jogi, adó- vagy pénzügyi tanácsadásnak.
Ellenőrizve: