Mi az a lineáris egyenletrendszer?
Több egyenlet, amelyeknek egyszerre kell teljesülniük, és amelyekben az ismeretlenek csak első hatványon szerepelnek. A kalkulátor alapbeállítása:
2x + 3y = 12
x − y = 1
Két ismeretlenhez általában két egyenlet kell, háromhoz három. A megoldás az a számpár (számhármas), amely mindegyik egyenletet kielégíti.
Megoldás behelyettesítéssel
Az egyik egyenletből kifejezzük az egyik ismeretlent, és beírjuk a másikba.
Példa: a második egyenletből x = y + 1. Ezt az elsőbe írva: 2(y + 1) + 3y = 12, vagyis 5y + 2 = 12, így y = 2. Visszahelyettesítve x = 2 + 1 = 3. Ellenőrzés: 2 · 3 + 3 · 2 = 12 és 3 − 2 = 1.
Egyenlő együtthatók módszere
Az egyenleteket úgy szorozzuk meg egy-egy számmal, hogy valamelyik ismeretlen együtthatója azonos (vagy ellentett) legyen, majd kivonjuk (összeadjuk) őket. A példában a második egyenletet 3-mal szorozva 3x − 3y = 3, ezt az elsőhöz adva 5x = 15, tehát x = 3. Három ismeretlennél ugyanígy, lépésenként tüntetjük el az ismeretleneket: ez a Gauss-elimináció, a kalkulátor is ezt használja.
Cramer-szabály determinánsokkal
Ha az együtthatók determinánsa (D) nem nulla, minden ismeretlen egy-egy determináns hányadosa: x = Dₓ / D, y = Dᵧ / D, ahol Dₓ-et úgy kapjuk, hogy D-ben az x oszlopát a jobb oldallal cseréljük ki.
| Képlet (2×2) | Példa | |
|---|---|---|
| D | a₁b₂ − a₂b₁ | 2 · (−1) − 3 · 1 = −5 |
| Dₓ | c₁b₂ − c₂b₁ | 12 · (−1) − 3 · 1 = −15 |
| Dᵧ | a₁c₂ − a₂c₁ | 2 · 1 − 1 · 12 = −10 |
A példában D = 2 · (−1) − 3 · 1 = −5, Dₓ = 12 · (−1) − 3 · 1 = −15, Dᵧ = 2 · 1 − 12 · 1 = −10, így x = −15 / −5 = 3 és y = −10 / −5 = 2. A 3×3-as determináns kiszámolásához a mátrix kalkulátor is használható.
Három ismeretlen: kidolgozott példa
x + y + z = 6, 2x − y + z = 3, x + 2y − z = 2. Az első és a harmadik egyenletet összeadva 2x + 3y = 8. Az első és a második különbsége: −x + 2y = 3. Ebből a kétismeretlenes rendszerből x = 1, y = 2, majd az első egyenletből z = 3. A kalkulátorban a „3 ismeretlen” gombbal ezt a feladatot látod.
Mikor nincs megoldás, és mikor végtelen sok?
- Egy megoldás: D ≠ 0. Két ismeretlennél a két egyenes egy pontban metszi egymást.
- Nincs megoldás: az egyenletek ellentmondanak egymásnak, például x + y = 2 és 2x + 2y = 5. A két egyenes párhuzamos.
- Végtelen sok megoldás: az egyik egyenlet a másik többszöröse, például x + y = 2 és 2x + 2y = 4. A két egyenes egybeesik.
Az utóbbi két esetben D = 0, a kalkulátor ilyenkor a mátrix rangja alapján dönt.
Gyakori kérdések
Hogyan oldok meg egy kétismeretlenes egyenletrendszert?
Fejezd ki az egyik ismeretlent az egyik egyenletből, és helyettesítsd be a másikba. Így egyismeretlenes egyenletet kapsz, a megoldást visszaírva a másik ismeretlen is kijön.
Mi a Cramer-szabály?
Ha az együtthatók determinánsa D ≠ 0, akkor minden ismeretlen értéke egy determináns és D hányadosa, például x = Dₓ / D, ahol Dₓ-ben az x oszlopa helyén a jobb oldal áll.
Honnan tudom, hogy nincs megoldás?
Ha az elimináció során 0 = (nem nulla szám) alakú ellentmondás jön ki. Két ismeretlennél ez azt jelenti, hogy a két egyenes párhuzamos.
Hány egyenlet kell három ismeretlenhez?
Egyértelmű megoldáshoz általában három, egymástól független egyenlet kell.
Jogi nyilatkozat: Az oldal és a kalkulátor eredménye tájékoztató jellegű, nem minősül jogi, adó- vagy pénzügyi tanácsadásnak.
Ellenőrizve: