A másodfokú egyenlet megoldóképlete
A másodfokú egyenlet általános alakja ax² + bx + c = 0, ahol a ≠ 0. A megoldásokat (gyököket) a megoldóképlet adja:
x₁,₂ = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)
A gyökjel alatti kifejezés a diszkrimináns: D = b² − 4ac. Ennek előjele dönti el, hány valós megoldás van:
| Diszkrimináns | Valós gyökök száma | A parabola |
|---|---|---|
| D > 0 | kettő, különböző | két pontban metszi az x tengelyt |
| D = 0 | egy (kettős gyök) | érinti az x tengelyt |
| D < 0 | nincs (két komplex gyök) | nem éri el az x tengelyt |
Példa: x² − 5x + 6 = 0, tehát a = 1, b = −5, c = 6. A diszkrimináns D = (−5)² − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1. A gyökök: x₁ = (5 + 1) / 2 = 3, x₂ = (5 − 1) / 2 = 2. Ellenőrzés: 3² − 5 · 3 + 6 = 0 és 2² − 5 · 2 + 6 = 0.
A parabola és a gyökök kapcsolata
Az y = ax² + bx + c függvény grafikonja parabola. Az egyenlet gyökei azok a helyek, ahol a parabola metszi az x tengelyt. Ha a > 0, a parabola felfelé nyílik, ha a < 0, lefelé. A csúcspont első koordinátája x₀ = −b / (2a), a második y₀ = c − b² / (4a). A példában x₀ = 2,5 és y₀ = −0,25, ez a függvény legkisebb értéke.
Gyöktényezős alak és Viète-formulák
Ha az egyenletnek vannak gyökei, a bal oldal szorzattá alakítható: ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂). A példában x² − 5x + 6 = (x − 3)(x − 2). Ez a gyöktényezős alak, törtek egyszerűsítésénél és egyenlőtlenségeknél nagyon hasznos.
A Viète-formulák a gyökök összegét és szorzatát kötik az együtthatókhoz, a gyökök kiszámolása nélkül:
- x₁ + x₂ = −b / a
- x₁ · x₂ = c / a
Egyszerű egyenleteknél fejben is megy: olyan két számot keresünk, amelyek összege 5 és szorzata 6, ez a 2 és a 3.
Ha a diszkrimináns negatív: komplex gyökök
D < 0 esetén a valós számok körében nincs megoldás, a parabola nem éri el az x tengelyt. A komplex számok körében viszont két, egymással konjugált gyök van: x = −b / (2a) ± i · √(−D) / (2a). Például x² + 2x + 5 = 0 esetén D = 4 − 20 = −16, a gyökök x = −1 ± 2i.
Hiányos másodfokú egyenletek
- c = 0 (például 2x² − 6x = 0): kiemeléssel x(2x − 6) = 0, a gyökök 0 és 3.
- b = 0 (például x² − 9 = 0): x² = 9, tehát x = ±3. Ha x² egy negatív számmal egyenlő, nincs valós gyök.
- a = 0: ez már nem másodfokú, hanem elsőfokú egyenlet (bx + c = 0, x = −c / b). A kalkulátor ezt is megoldja.
Két ismeretlenes lineáris egyenletekhez az egyenletrendszer megoldó, gyökvonáshoz a gyökvonás kalkulátor használható.
Gyakori kérdések
Mi a másodfokú egyenlet megoldóképlete?
x₁,₂ = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). Az ax² + bx + c = 0 alakú egyenlet együtthatóit kell behelyettesíteni.
Mit mutat meg a diszkrimináns?
A D = b² − 4ac értéke megmutatja a valós gyökök számát: ha pozitív, kettő van, ha nulla, egy kettős gyök, ha negatív, nincs valós megoldás.
Mi a gyöktényezős alak?
Az ax² + bx + c kifejezés a(x − x₁)(x − x₂) alakban felírva, ahol x₁ és x₂ az egyenlet gyökei. Például x² − 5x + 6 = (x − 3)(x − 2).
Hogyan számolom ki a parabola csúcspontját?
A csúcs első koordinátája x₀ = −b / (2a), a második y₀ = c − b² / (4a). Az x² − 5x + 6 parabola csúcsa (2,5; −0,25).
Mi a teendő, ha a diszkrimináns negatív?
A valós számok körében nincs megoldás. A komplex gyökök: −b / (2a) ± i · √(−D) / (2a).
Jogi nyilatkozat: Az oldal és a kalkulátor eredménye tájékoztató jellegű, nem minősül jogi, adó- vagy pénzügyi tanácsadásnak.
Ellenőrizve: