Mi a logaritmus?
A logaritmus a hatványozás egyik megfordítása: azt a kitevőt adja meg, amelyre az alapot emelni kell, hogy a számot kapjuk. logₐ b = c pontosan akkor, ha aᶜ = b. Az alap pozitív és nem 1, a szám (b) pozitív.
Példa (alapértelmezett értékek): log₂ 8 = 3, mert 2³ = 8. Ugyanennek a számnak a tízes logaritmusa lg 8 ≈ 0,90309, a természetes logaritmusa ln 8 ≈ 2,07944.
Tízes és természetes logaritmus
- lg b (log₁₀ b): tízes alapú logaritmus. Megmutatja, nagyságrendileg hány jegyű egy szám: lg 1000 = 3. Erre épül a decibel, a pH és a Richter-skála.
- ln b (logₑ b): természetes logaritmus, alapja az e ≈ 2,71828 Euler-féle szám. A folytonos növekedési és bomlási folyamatok (kamat, radioaktív bomlás, népesség) képleteiben szerepel.
- log₂ b: kettes alapú logaritmus, az informatikában gyakori (hány bit kell, hányszor kell felezni).
Áttérés más alapra
A számológépeken általában csak lg és ln van. Tetszőleges alapú logaritmust ezekkel így számolunk: logₐ b = ln b / ln a = lg b / lg a. A kalkulátor is ezt a képletet használja.
log₃ 50 = ln 50 / ln 3 = 3,91202 / 1,09861 ≈ 3,56088. Ellenőrzés: 3^3,56088 ≈ 50.
A logaritmus azonosságai
| Azonosság | Példa |
|---|---|
| logₐ (x · y) = logₐ x + logₐ y | lg 200 = lg 2 + lg 100 ≈ 0,301 + 2 = 2,301 |
| logₐ (x / y) = logₐ x − logₐ y | log₂ (32 / 4) = 5 − 2 = 3 |
| logₐ xᵏ = k · logₐ x | lg 1000 = lg 10³ = 3 |
| logₐ a = 1, logₐ 1 = 0 | ln e = 1, lg 1 = 0 |
| logₐ b = ln b / ln a | log₂ 8 = 2,0794 / 0,6931 = 3 |
| a^(logₐ b) = b | 10^(lg 5) = 5 |
Exponenciális egyenletek megoldása
A logaritmus legfontosabb gyakorlati haszna, hogy kiszámolja az ismeretlen kitevőt. Ha például egy összeg évi 5%-kal nő, a megduplázódásig eltelt évek száma n = log₁,₀₅ 2 = ln 2 / ln 1,05 ≈ 14,2 év. Ilyen számításhoz írd be az alapnak 1,05-öt, a számnak 2-t. Hasonló feladat a felezési idő vagy az, hogy hány lépésben lehet egy listát kettéosztással egy elemre szűkíteni (log₂ n).
Ha a kitevő ismert és a hatványértéket keresed, használd a hatványozás kalkulátort, átlagos éves növekedési ütem számításához pedig a CAGR kalkulátort.
Gyakori kérdések
Mennyi log₂ 8?
3, mert 2³ = 8.
Mi a különbség az lg és az ln között?
Az lg tízes alapú, az ln természetes (e ≈ 2,71828 alapú) logaritmus. lg 10 = 1, ln e = 1.
Hogyan számolok más alapú logaritmust számológéppel?
Oszd el a szám logaritmusát az alap logaritmusával: logₐ b = lg b / lg a. Például log₃ 50 = lg 50 / lg 3 ≈ 3,5609.
Miért nem lehet negatív szám logaritmusát venni?
Mert pozitív alap bármely valós kitevős hatványa pozitív, így nincs olyan kitevő, amely negatív számot vagy nullát adna.
Jogi nyilatkozat: Az oldal és a kalkulátor eredménye tájékoztató jellegű, nem minősül jogi, adó- vagy pénzügyi tanácsadásnak.
Ellenőrizve: